ધારો કે n ge 2 એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને 0

Question

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(\sin^n 	heta - \sin 	heta)^{\frac{1}{n}} \cos 	heta}{\sin^{n+1} 	heta} d	heta$.$\sin 	heta = t$ લેતા,$\cos 	heta d

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{n}{n^2 - 1} \left( 1 - \frac{1}{\sin^{n-1} 	heta} ight)^{\frac{n+1}{n}} + C$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int \frac{(\sin^n 	heta - \sin 	heta)^{\frac{1}{n}} \cos 	heta}{\sin^{n+1} 	heta} d	heta$.$\sin 	heta = t$ લેતા,$\cos 	heta d	heta = dt$ મળે.સંકલન $I = \int \frac{(t^n - t)^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt$ બને છે.અંશમાંથી $t^n$ સામાન્ય લેતા: $I = \int \frac{(t^n(1 - t^{1-n}))^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{t(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^{n+1}} dt = \int \frac{(1 - t^{1-n})^{\frac{1}{n}}}{t^n} dt$.ધારો કે $z = 1 - t^{1-n}$. તો $dz = -(1-n)t^{-n} dt = (n-1)t^{-n} dt$.આથી,$t^{-n} dt = \frac{dz}{n-1}$.સંકલનમાં કિંમત મૂકતા: $I = \frac{1}{n-1} \int z^{\frac{1}{n}} dz$.$z$ ની સાપેક્ષે સંકલન કરતા: $I = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{1}{n} + 1}}{\frac{1}{n} + 1} + C = \frac{1}{n-1} \cdot \frac{z^{\frac{n+1}{n}}}{\frac{n+1}{n}} + C = \frac{n}{(n-1)(n+1)} z^{\frac{n+1}{n}} + C$.$I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - t^{1-n})^{\frac{n+1}{n}} + C$.$t = \sin 	heta$ પાછું મૂકતા: $I = \frac{n}{n^2 - 1} (1 - \frac{1}{\sin^{n-1} 	heta})^{\frac{n+1}{n}} + C$.

ધારો કે $n \ge 2$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે અને $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ છે. તો $\int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int \frac{\sqrt{\cot x}}{\sin x \cos x} d x = -f(x) + c$ હોય,તો $f(x)$ શોધો.

$\int \frac{dx}{x\sqrt{1 - (\log x)^2}} = $

$\int \frac{1}{x\sqrt{1 + \log x}} \, dx = $

$\int \frac{dx}{(1 + x^2)\sqrt{p^2 + q^2(\tan^{-1}x)^2}} = $

$\int \frac{\sqrt{x-2}}{2x+4} dx=$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module